Question

15．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）满足：
①对任意的m₁，m₂，m₁≠m₂，当f（m₁）=f（m₂）时，有m₁+m₂＜0成立；
②对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，利用导数在各区间内的符号，可求函数f（x）单调区间；
（2）①先证明当a＞1时，对任意的x＞0，有f（x）＞f（-x）成立，当0＜a＜1时，对任意的x＞0，有f（x）＞f（-x）成立，再分情况讨论可得．
②问题等价于f（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差≤e-1．由（1）可知f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中较大的一个，构造函数可得f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna，从而问题转化为a-lna≤e-1，即可求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
令h（x）=f'（x）=2x+（a^x-1）lna，h′（x）=2+a^xln²a，
当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，
又h（0）=f′（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f′（x）＜0的解集为（-∞，0），
故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-∞，0）；
（2）①由（1）可知m₁≠m₂，当f（m₁）=f（m₂）时，m₁，m₂异号，不妨设有m₁＞0，m₂＜0，
先证明一个结论
当a＞1时，对任意的x＞0，有f（x）＞f（-x）成立，
当0＜a＜1时，对任意的x＞0，有f（x）＞f（-x）成立，
∵f（x）＞f（-x）
∴a^x+x²-xlna＞a^-x+x^x+xlna?a^x+a^-x-2xlna，
令t（x）=a^x+a^-x-2xlna，
∵t′（x）=a^xlna+a^-xlna-2lna=lna（a^x+a^-x-2）≥2$\sqrt{{a}^{x}•{a}^{-x}}-2$=0，（当且仅当x=0时等号成立），
又t（0）=0，
当a∈（0．，1）时，t′（x）≤0，所以t （x）在（0，-∞）上单调递减，
t（x）＜t（0）=0，
此时对任意的x＞0，有f（x）＜f（-x）成立，
当a∈（1，+∞），t′（x）＞0，所以t （x）在（1，+∞）上单调递增，
此时对任意的x＞0，有f（x）＞f（-x）成立．
当a＞1时，f（m₂）=f（m₁）＞f（-m₁），由于f（x）在（-∞，0）上单调递减，所以m₂＜-m₁，m₁+m₂＜0．
同理0＜a＜1，m₁+m₂＞0．
当f（m₁）=f（m₂）时，当且仅当a＞1时，有m₁+m₂＜0成立．
②：问题等价于f（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差≤e-1．
由（1）可知f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中较大的一个，
f（-1）=$\frac{1}{a}$+1lna，f（1）=a+1-lna，
f（1）-f（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
令g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，（x≥1），
则g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$（\frac{1}{x}-1）^{2}$≥0，仅在x=1时取等号，
∴g（x）为增函数，
∴当a＞1时，g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna＞g（1）=0，
即f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1），
于是f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna，
故对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，∴a-lna≤e-1，
当x≥1时，（x-lnx）′=$\frac{x-1}{x}$≥0，
∴y=x-lnx在[1，+∞）单调递增，
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1＜a≤e．
当0＜a＜1，此时，f（-1）为最大值，即f（-1）=$\frac{1}{a}$+1+lna，
∴$\frac{1}{a}$+1+lna-e+1≤0，
设F′（a）=-$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{{a}^{2}}$＜0，
∴F（a）在（0，1）单调递减，
∵F（$\frac{1}{e}$）=e-1-e+1=0，由F′（a）≤0，解得$\frac{1}{e}$≤a＜1，
综上所述a的取值范围为[$\frac{1}{e}$，1）∪（1，e]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查学生分析问题和解决问题的能力，解题的关键是利用导数确定函数的最值，属难题．