Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-a）²+（y-a+2）²=1，点A（0，-3），若圆C上存在点M，满足|AM|=2|MO|，则实数a的取值范围是[0，3]．

Answer 1

分析 设点M（x，y），由题意得x²+（y-2）²+x²+y²=10，若圆C上存在点M满足MA²+MO²=10也就等价于圆E与圆C有公共点，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：设点M（x，y），由题意得点A（0，2），O（0，0）及MA²+MO²=10，
即x²+（y-2）²+x²+y²=10，整理得x²+（y-1）²=4，
即点M在圆E：x²+（y-1）²=4上．
若圆C上存在点M满足MA²+MO²=10也就等价于圆E与圆C有公共点，
所以|2-1|≤CE≤2+1，
即|2-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+（a-3）^{2}}$≤2+1，
整理得1≤2a²-6a+9≤9，解得0≤a≤3，
即实数a的取值范围是[0，3]．
故答案为：[0，3]．

点评 本题若将题目条件“圆C上存在点M满足MA²+MO²=10”改成“圆C上存在点M满足MA+MO=10”或改成“圆C上存在点M满足|MA-MO|=1”，考生多数能想到应该先求出点M满足的曲线方程再求解，而对于本题的条件“MA²+MO²=10”多数考生是不知道或不敢走求点M满足的曲线方程的这条路，最终导致思路中断而失分，这也就提醒考生在复习备考的过程中要加大创新思维能力的训练，如此才能提升数学思维层次，打破解题瓶颈．