Question

17．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x≤\sqrt{3}）}\\{\sqrt{4-{x}^{2}}（\sqrt{3}＜x＜2）}\\{0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x≥2）}\end{array}\right.$，则${∫}_{-1}^{2010}$f（x）dx的值为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$+$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{π}{2}$+$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{π}{6}$+$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{π}{2}$+$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 将被积函数分段，利用定积分的几何意义及定积分的计算，即可求得答案．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x≤\sqrt{3}）}\\{\sqrt{4-{x}^{2}}（\sqrt{3}＜x＜2）}\\{0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x≥2）}\end{array}\right.$，
则${∫}_{-1}^{2010}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{\sqrt{3}}$1dx+${∫}_{\sqrt{3}}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{2}^{2010}$0dx，
由${∫}_{\sqrt{3}}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示阴影部分的面积，则阴影部分的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$×2-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
${∫}_{-1}^{\sqrt{3}}$1dx=x${丨}_{-1}^{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-（-1）=$\sqrt{3}$+1，
${∫}_{2}^{2010}$0dx=0，
∴${∫}_{-1}^{2010}$f（x）dx=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$+1=$\frac{π}{3}$+$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
故选A．

点评 本题考查了分段函数的定积分，当被积函数为分段函数时，也需函数的定义的分段情形相应的逐段积分，考查定积分的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题．