Question

8．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）若OA⊥OB，弦AB是否过定点，若过定点，求出该定点，若不过定点，说明理由．

Answer 1

分析 （I）对直线l的斜率是否存在进行讨论，利用中垂线的性质列方程组得出直线l的截距b的范围，从而得出结论；
（II）设AB方程为y=kx+b，联立方程组，根据根与系数的关系和x₁x₂+y₁y₂=0求出b的值，从而得出定点坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x²，即${x^2}=\frac{y}{2}$，∴$p=\frac{1}{4}$，
∴焦点为$F（0，\frac{1}{8}）$．
（1）若直线l的斜率不存在，显然有x₁+x₂=0，
（2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+b，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y_1+y_2}{2}=k•\frac{x_1+x_2}{2}+b}\\{\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{1}{k}}\end{array}}\right.$，$⇒\left\{{\begin{array}{l}{x_1^2+x_2^2=k•\frac{x_1+x_2}{2}+b}\\{x_1+x_2=-\frac{1}{2k}}\end{array}}\right.$，
 $⇒x_1^2+x_2^2=-\frac{1}{4}+b≥0$$⇒b≥\frac{1}{4}$，
即l的斜率存在时，不可能经过焦点$F（0，\frac{1}{8}）$．
∴当且仅当 x₁+x₂=0时，直线l经过抛物线的焦点F．
（Ⅱ）设弦AB的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得2x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=$\frac{k}{2}$，x₁x₂=-$\frac{b}{2}$．
∴y₁y₂=4x₁²x₂²=b²，
若OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，
∴-$\frac{b}{2}$+b²=0，解得b=$\frac{1}{2}$或b=0（舍）．
∴弦AB过定点（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．