Question

已知二次函数（其中）满足下列3个条件：

①的图象过坐标原点；

②对于任意都有成立；

③方程有两个相等的实数根，令（其中），

（1）求函数的表达式；

（2）求函数的单调区间（直接写出结果即可）；

（3）研究函数在区间上的零点个数.

 

Answer 1

（1）；（2）当时，函数增区间为，减区间为；

当时，函数的增区间为、，减区间为、.；（3）当时，函数在区间上只有一个零点；当时，函数在区间上有两个不同的零点.

【解析】

试题分析：（1）通过已知给的三个条件逐一求出的值，对于①可以求出，对于②可以得知函数的对称轴为，可以求出，对于③可以根据判别式等于，求得的值，则函数表达式就得出.（2）由于函数是带有参数和绝对值的函数，所以需要讨论，首先需要讨论去掉绝对值符号，会得知函数为分段函数，而每段区间又恰好为二次函数，再讨论二次函数对称轴在每段区间的位置关系，就可以得到的单调区间.（3）由于第（2）问得知的单调区间，只需要讨论，和单调区间端点的位置关系以及正负情况，再通过函数的零点的存在性定理，就可以得出结论.

试题解析：（1）由题意得，即. 1分

对于任意都有成立，

函数的对称轴为，即，即.

,

方程仅有一根，即方程仅有一根，

，即，即.

. 4分

.

①当时，函数的对称轴为，

若，即，函数在上单调递增；

若，即，函数在上单调递增，在上单调递减.

②当时，函数的对称轴为，

则函数在上单调递增，在上单调递减.

综上所述:

当时，函数增区间为，减区间为；

当时，函数的增区间为、，减区间为、 9分

①当时，由（2）知函数在区间上单调递增，

又，，

故函数在区间上只有一个零点. 12分

②当时，则，而，，，

（ⅰ）若，由于，

且，

此时，函数在区间上只有一个零点；

（ⅱ）若，由于且，此时在区间上有两个不同的零点.

综上所述：

当时，函数在区间上只有一个零点；

当时，函数在区间上有两个不同的零点. 16分

考点：1、求二次函数表达式.2、求解带有参数和绝对值符号的函数的单调性.3、函数零点的存在性定理.