Question

18．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：$\sqrt{3}a-2bsinA=0$
（I）求角B的大小
（II）若a+c=5，且$a＞c，b=\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2bsinA=$\sqrt{3}$a，利用正弦定理可得：2sinBsinA=$\sqrt{3}$sinA，sinA≠0，化简整理即可得出．
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，代入化简求出ac，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）在锐角△ABC中，∵2bsinA=$\sqrt{3}$a，
∴2sinBsinA=$\sqrt{3}$sinA，sinA≠0，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴7=（a+c）²-2ac-2accos$\frac{π}{3}$，化为：ac=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查了正弦定理余弦定理和三角形的面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．