Question

如图，正方形ABCD和ABEF的边长均为4，且它们所在的平面互相垂直，G为BC的中点，
（Ⅰ）求点G到平面ADE的距离；
（Ⅱ）求二面角B-GD-E的正切值；
（Ⅲ）求直线AD与平面DEG所成的角。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵BC∥AD，AD平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
∴点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离，
连结BF交AE于H，
则BF⊥AE，
又由于正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，
∴AD⊥平面ABEF，
∴BF⊥AD，
又AD∩AE=A，
∴BF⊥平面ADE，
∴BH即为点B到平面ADE的距离，
由已知，在Rt△ABE中，BH=，
∴点G到平面ADE的距离为。
（Ⅱ）过点B作BN⊥DG，交DG延长线于点N，连结EN，
由三垂线定理知EN⊥DN，
∴∠ENB为二面角B-GD-E的平面角，
在Rt△BNG中，sin∠BGN=sin∠DGC=，
∴BN=BG·sin∠BGN=2×，
则在Rt△EBN中，tan∠ENB=，
所以二面角E-GD-A的正切值为；
（Ⅲ）设DE中点为O，连结OG，OH，
则OHAD，BG=AD，
∴OHBG，四边形BHOG为平行四边形，
∴GO∥BH，
由（Ⅰ）知，BH⊥平面ADE，
∴GO⊥平面ADE，
又OG平面DEG，
∴平面DEG⊥平面ADE，
∴过点A作AM⊥DE于M，则AM⊥平面DEG，
∴∠ADE为直线AD与平面DEG所成的角，
在Rt△EAD中，tan∠ADE=，
∴∠ADE=arctan，
即AD与平面DEG所成角为arctan。