(1)∵f(x)=lnx-x,
∴f′(x)=
-1=
,定义域为(0,+∞),
令f′(x)>0,解得0<x<1;
令f′(x)<0,解得x>1;
∴f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞),
(2)∵af(x)≥x-
x
2在x∈(0,+∞)内恒成立,
∴
x
2+alnx-(a+1)x≥0在x∈(0,+∞)内恒成立,
令g(x)=
x
2+alnx-(a+1)x,
∴g′(x)=x+
-(a+1)=
,
①若a≤0时,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,则g(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴g(x)
min=g(1)=
-(a+1)≥0,解得a≤-
,又a≤0,故a≤-
,
②若0<a≤1时,g′(x)=0解得x=a或x=1,列表如下
x | (0,a) | a | (a,1) | 1 | (1,+∞) |
g′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
g(x) | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
又g(1)=
-(a+1)<0,故不满足要求
③若a>1时,g′(x)=0解得x=a或x=1,列表如下
x | (0,1) | 1 | (1,a) | a | (a,+∞) |
g′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
g(x) | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
同理g(1)=
-(a+1)<0,故也不满足要求
综合上述,要使不等式af(x)≥x-
x
2在x∈(0,+∞)内恒成立,则实数a的取值范围为(-∞,-
];
( 3)由( 2)知当a=-
时,g(x)=
x
2-
lnx-
x≥0,
即lnx≤x
2-x(x=1取等号)
∴当x>1时,
>==-令x=2,3,…n,则有
>1-,
>-,…,
>-,
相加得
+
+…+
>1-
+
-
+…+
-=1-
=
.