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已知函数f(x)=lnx-x
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若不等式af(x)≥x-
1
2
x2在x∈(0,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围;
(3)n∈N+,求证:
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
n
n+1
(1)∵f(x)=lnx-x,
∴f′(x)=
1
x
-1=
1-x
x
,定义域为(0,+∞),
令f′(x)>0,解得0<x<1;
令f′(x)<0,解得x>1;
∴f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞),
(2)∵af(x)≥x-
1
2
x2在x∈(0,+∞)内恒成立,
1
2
x2+alnx-(a+1)x≥0在x∈(0,+∞)内恒成立,
令g(x)=
1
2
x2+alnx-(a+1)x,
∴g′(x)=x+
a
x
-(a+1)=
(x-a)(x-1)
x

①若a≤0时,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,则g(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=
1
2
-(a+1)≥0,解得a≤-
1
2
,又a≤0,故a≤-
1
2

②若0<a≤1时,g′(x)=0解得x=a或x=1,列表如下
x(0,a)a(a,1)1(1,+∞)
g′(x)+0-0+
g(x)极大值极小值
又g(1)=
1
2
-(a+1)<0,故不满足要求
③若a>1时,g′(x)=0解得x=a或x=1,列表如下
x(0,1)1(1,a)a(a,+∞)
g′(x)+0-0+
g(x)极大值极小值
同理g(1)=
1
2
-(a+1)<0,故也不满足要求
综合上述,要使不等式af(x)≥x-
1
2
x2在x∈(0,+∞)内恒成立,则实数a的取值范围为(-∞,-
1
2
];
( 3)由( 2)知当a=-
1
2
时,g(x)=
1
2
x2-
1
2
lnx-
1
2
x≥0,
即lnx≤x2-x(x=1取等号)
∴当x>1时,
1
lnx
1
x2-x
=
1
(x-1)x
=
1
x-1
-
1
x

令x=2,3,…n,则有
1
ln2
>1-
1
2
1
ln3
1
2
-
1
3
,…,
1
ln(n+1)
1
n
-
1
n+1

相加得
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
>1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

定义在R上的函数f(x)=
1
3
ax3+bx2+cx+2
同时满足以下条件:
①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②f′(x)是偶函数;
③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=[
1
3
x3-f(x)]•ex,求函数g(x)在[m,m+1]上的最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知f(x)=x3-
9
2
x2+6x+m2,其中m∈R,
(1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线过点(-1,2),求m的值;
(2)若?x∈[0,3],f(x)≤m,求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=x3-3x2-9x+1
(1)求函数在区间[-4,4]上的单调性.
(2)求函数在区间[-4,4]上的极大值和极小值与最大值和最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=mln(x-1)+(m-1)x,m∈R是常数.
(1)若m=
1
2
,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)存在最大值,求m的取值范围;
(3)若对函数f(x)定义域内任意x1、x2(x1≠x2),
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
恒成立,求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数f(x)=exsinx
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

当x∈(-1,3)时不等式的x2+ax-2<0恒成立,则a的取值范围是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2
+cx+d的图象过原点,且在点(-1,f(-1))处的切线与x轴平行.对任意x∈R,都有x≤f′(x)≤
1
2
(x2+1)

(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设g(x)=12f(x)-4x2-3x-3,h(x)=
m
x
+x•lnx,对任意x1x2∈[
1
2
,2]
,都有h(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若对一切x∈R,不等式4x+(a-1)2x+1≥0恒成立,则a的取值范围是______.

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