Question

若对一切x∈R，不等式4^x+（a-1）2^x+1≥0恒成立，则a的取值范围是______．

Answer 1

当x∈R时，2^x＞0，
∴不等式4^x+（a-1）2^x+1≥0恒成立等价于a-1≥

-4x-1

2x

=-2x-

1

2x

恒成立，
即a≥-2x-

1

2x

+1恒成立．
令2^x=t（t＞0）．
即a≥-t-

1

t

+1（t＞0）恒成立．
令g（t）=-t-

1

t

+1（t＞0），
g′(t)=-1+

1

t2

=

-t2+1

t2

，
当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，
当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0．
∴当t=1时g（t）有极大值也就是最大值，
g（t）_max=g（1）=-1．
∴a≥-1．
故答案为：a≥-1．