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已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R),
(1)若函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1,求a的值;
(2)在(1)的条件下,对任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[
m
2
+f′(x)]在区间(t,3)总存在极值,求m的取值范围;
(3)若a=2,对于函数h(x)=(p-2)x-
p+2e
x
-3在[1,e]上至少存在一个x0使得h(x0)>f(x0)成立,求实数P的取值范围.
(1)∵f(x)=alnx-ax-3(a∈R),
∴f′(x)=
a
x
-a,∵函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1,
∴f′(2)=-
a
2
=1,解得a=-2.
(2)由(1)知,f(x)=-2lnx+2x-3,f′(x)=2-
2
x

∴g(x)=x3+(2+
m
2
)x2-2x,g′(x)=3x2+(m+4)x-2,
∵函数g(x)在区间(t,3)总存在极值,
g′(2)<0
g(3)>0
解得-
37
3
<m<-9.
(3)由a=2得f(x)=2lnx-2x-3,令F(x)=h(x)-f(x)=px-
p+2e
x
-2lnx,则F′(x)=
px2-2x+p+2e
x2

①若p≤0,由于px-
p
x
≤0,-
2e
x
-2lnx<0,故F(x)<0,所以不存在x0使得h(x0)>f(x0);
②若p>0,此时F′(x)=
px2-2x+p+2e
x2
>0,所以F(x)在[1,e]上是增函数,
∴F(x)max=F(e)=pe-
p
e
-4,只要pe-
p
e
-4>0即可,解得p>
4e
e2-1

即p∈(
4e
e2-1
,+∞).
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已知f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2
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1
2
(x2+1)

(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设g(x)=12f(x)-4x2-3x-3,h(x)=
m
x
+x•lnx,对任意x1x2∈[
1
2
,2]
,都有h(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
2
x2+lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>1时,
1
2
x2+lnx<
2
3
x3

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(1)求a,b,c的值;
(2)若x∈[-1,1],求f(x)的最大值和最小值.

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