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已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2),今年新增的年销量(单位:万件)与(2-x)2成正比,比例系数为4.
(1)写出今年商户甲的收益y(单位:万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式;
(2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?说明理由.
解(1)由题意知,今年的年销售量为1+4(x-2)2(万件).
∵每销售一件,商户甲可获利(x-1)元,
∴今年商户甲的收益
y=[1+4(x-2)2](x-1)
=4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2).
(2)由(1)知
y=4x3-20x2+33x-17,1≤x≤2,
∴y′=12x2-40x+33=(2x-3)(6x-11).
令y′=0,解得x=
3
2
,或x=
11
6
.列表如下:
x(1,
3
2
3
2
3
2
11
6
11
6
11
6
,2)
f′(x)+0-0+
f(x)递增极大值递减极小值递增
又f(
3
2
)=1,f(2)=1,
∴f(x)在区间[1,2]上的最大值为1(万元).
∵往年的收益为(2-1)×1=1(万元),
∴商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.
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1
32
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3
4
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1
2
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2
>f(
x1+x2
2
)
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1
3
ax3+
1
2
bx2
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1
2
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m
x
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1
2
,2]
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