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已知函数f(x)=mln(x-1)+(m-1)x,m∈R是常数.
(1)若m=
1
2
,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)存在最大值,求m的取值范围;
(3)若对函数f(x)定义域内任意x1、x2(x1≠x2),
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
恒成立,求m的取值范围.
(1)f(x)的定义域为(1,+∞)…(1分)
m=
1
2
时,f(x)=
1
2
ln(x-1)-
1
2
x
f/(x)=
1
2(x-1)
-
1
2
=
2-x
2(x-1)
…(2分)
解f′(x)=0得x=2.
当x∈(1,2)时,f′(x)>0,即f(x)在(1,2)单调递增…(3分);
当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,即f(x)在(2,+∞)单调递减…(4分).
(2)f/(x)=
m
x-1
+(m-1)=
(m-1)x+1
x-1

若m≥1,则f′(x)>0,f(x)单调递增,不存在最大值…(5分)
若m≤0,则f′(x)<0,f(x)单调递减,不存在最大值…(6分)
若0<m<1,由f′(x)=0得x=
1
1-m

x∈(1,
1
1-m
)
时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
x∈(
1
1-m
,+∞)
时,f′(x)<0,f(x)单调递减…(8分),
所以f(x)在x=
1
1-m
取得最大值,所求m的取值范围为(0,1)…(9分)
(3)由
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
mln(x1-1)+mln(x2-1)
2
>mln(
x1+x2
2
-1)
…(10分),
依题意x1-1>0,x2-1>0且x1-1≠x2-1,所以
x1+x2
2
-1=
(x1-1)+(x2-1)
2
(x1-1)(x2-1)
…(11分),
y=lnx是增函数,所以ln(
x1+x2
2
-1)>ln
(x1-1)(x2-1)
…(12分)
=
1
2
ln[(x1-1)(x2-1)]=
1
2
[ln(x1-1)+ln(x2-1)]
…(13分),
所求m的取值范围为(-∞,0)…(14分).
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1
3
x3+ax+b
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4
3

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y
x
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1
2
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1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
n
n+1

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