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已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)当0<x<y<e2且x≠e时,试比较
y
x
1-lny
1-lnx
的大小.
函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=a-
1
x

(Ⅰ)当a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函数在(0,+∞)单调递减,
∴在(0,+∞)上没有极值点;
当a>0时,由f′(x)>0得x>
1
a
,f′(x)<0得x<
1
a
.f′(x)=0得x=
1
a

∴在(0,
1
a
)上递减,在(
1
a
,+∞)上递增,即在x=
1
a
处有极小值.
∴当a≤0时在(0,+∞)上没有极值点,
当a>0时,在(0,+∞)上有一个极值点.(3分)
(Ⅱ)∵函数在x=
1
a
处取得极值,∴a=1,
f(x)=x-1-lnx,
∵f(x)≥bx-2,移项得(1-b)x>lnx-1,再将b分离得出,b<1-
lnx-1
x
,令g(x)=1-
lnx-1
x

则令g′(x)=
lnx-2
x2
,可知在(0,e2)上g′(x)<0,在(e2,+∞)上g′(x)>0,
∴g(x)在x=e2处取得极小值,也就是最小值.此时g(e2)=1-
1
e2

所以b≤1-
1
e2

(Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)=1-
lnx-1
x
在(0,e2)上为减函数.0<x<y<e2且x≠e时,
有g(x)>g(y),1-
lnx-1
x
1-
lny-1
y
,整理得
1-lnx
x
1-lny
y

当0<x<e时,1-lnx>0,由①得,
y
x
1-lny
1-lnx

当e<x<e2时,1-lnx<0,由①得
y
x
1-lny
1-lnx
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0)
(I)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(II)若a=2,b=1,若函数k=g(x)-2f(x)-x2在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数k的取值范围;
(III)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P,Q两点,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于M、N两点,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.

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已知函数f(x)=ax-lnx
(I)当a=1时,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)当a>0时,求f(x)在[1,e]上的最大值与最小值.

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已知函数f(x)=x3-3x2-9x+1
(1)求函数在区间[-4,4]上的单调性.
(2)求函数在区间[-4,4]上的极大值和极小值与最大值和最小值.

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已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c=16.
(1)求a、b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最大值.

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已知函数f(x)=mln(x-1)+(m-1)x,m∈R是常数.
(1)若m=
1
2
,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)存在最大值,求m的取值范围;
(3)若对函数f(x)定义域内任意x1、x2(x1≠x2),
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
恒成立,求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数f(x)=exsinx
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2
+cx+d的图象过原点,且在点(-1,f(-1))处的切线与x轴平行.对任意x∈R,都有x≤f′(x)≤
1
2
(x2+1)

(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设g(x)=12f(x)-4x2-3x-3,h(x)=
m
x
+x•lnx,对任意x1x2∈[
1
2
,2]
,都有h(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值4,其导函数y=f′(x)的图象经过点(0,0),(2,0),如图,
(1)求a,b,c的值;
(2)若x∈[-1,1],求f(x)的最大值和最小值.

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