Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）若a=2，b=1，若函数k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围；
（III）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）h（x）=lnx+x²-bx，且函数的定义域为（0，+∞）
∴依题知h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x
∵x＞0，
∴b≤2

2

（II）函数k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程
x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根．
令m（x）=x-2lnx，
∴m′(x)=1-

2

x

∴m（x）在[1，2]上单减，在（2，3]上单增，
m（x）的最小值是2-2ln2
故2-2lnx＜k＜3-2ln3
（III）设点P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
则PQ的中点R的横坐标

x1+x2

2

C₁在点M处的切线的斜率为k1=

2

x1+x2

C₂在点N处的切线的斜率为k2=

x1+x2

2

+b
假设C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则斜率相等
即ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

设u=

x2

x1

＞1
则lnu=

2(u-1)

1+u

①
令r（u）=lnu-

2(u-1)

1+u

（u＞1）
则r′(u)=

(u-1)2

u(1+u)2

∵u＞1，r′（u）＞0
∴r（u）单调递增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞

2(u-1)

u+1

②
∵①与②矛盾，
∴假设不成立，故C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．