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已知函数f(x)=
2ax-a2+1
x2+1
(x∈R),其中a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值.

(I)当a=1时,f(x)=
2x
x2+1
,f(2)=
4
5

f′(x)=
2(x2+1)-2x.2x
(x2+1)2
=
2-2x2
(x2+1)2
,f′(2)=-
6
25

所以,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-
4
5
=-
6
25
(x-2)
,即6x+25y-32=0.

(II)f′(x)=
2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)
(x2+1)2
=
-2(x-a)(ax+1)
(x2+1)2

由于a≠0,以下分两种情况讨论.
(1)当a>0时,令f'(x)=0,得到x1=-
1
a
x2=a
.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在区间(-∞,-
1
a
)
,(a,+∞)内为减函数,在区间(-
1
a
,a)
内为增函数.
函数f(x)在x1=-
1
a
处取得极小值f(-
1
a
)
,且f(-
1
a
)=-a2

函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.
(2)当a<0时,令f'(x)=0,得到x1=a,x2=-
1
a
.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在区间(-∞,a),(-
1
a
,+∞)
内为增函数,在区间(a,-
1
a
)
内为减函数.
函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.
函数f(x)在x2=-
1
a
处取得极小值f(-
1
a
)
,且f(-
1
a
)=-a2
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A.
1
e
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lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
=1,则f′(x0)等于(  )
A.2B.-2C.
1
2
D.-
1
2

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1
2
ax2+bx(a≠0)
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9
2
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