Question

已知f（x）=x³-

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x²+6x+m²，其中m∈R，
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线过点（-1，2），求m的值；
（2）若?x∈[0，3]，f（x）≤m，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³-

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x²+6x+m²，
∴f′（x）=3x²-9x+6，
∴切线的斜率k=f′（0）=6，又切点（0，m²），
根据点斜式，可得斜线的方程为y-m²=6x，即y=6x+m²，
∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线过点（-1，2），
∴2=6×（-1）+m²，
∴m=±2

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．
（2）∵?x∈[0，3]，f（x）≤m，则等价于x3-

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x2+6x≤m-m²在[0，3]有解，
令g（x）=x3-

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x2+6x，
∴x3-

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x2+6x≤m-m²在[0，3]有解，即g（x）_min≤m-m²，
以下求g（x）在[0，3]的最小值，
令g′（x）=3x²-9x+6=0，解得x=1或x=2，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）单调递增，
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，即g（x）在（1，2）单调递减，
当x∈（2，3）时，g′（x）＞0，即g（x）在（2，3）单调递增，
∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2，
又∵g（0）=0，g（3）=

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，
∴g（x）_min=0，
∴0≤m-m²，解得0≤m≤1，
∴m的取值范围为[0，1]．