Question

如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D是边OA，BC的中点，连接DE．
（1）计算DE的长；
（2）求点O到面ABC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AE，OE，由已知得OE=AE=

3

2

，DE⊥AO，由此能求出DE．
（2）在面AOE中，作OF⊥AE，交AE于F，则OF⊥面ABC，OF的长即为点O到面ABC的距离．由此能求出点O到平面ABC的距离．

解答： 解：（1）连结AE，OE，
∵空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，
D，E是OA，BC的中点，
∴OE=AE=

3

2

，∴△OEA是等腰三角形．
∴DE⊥AO，
∴DE=

OE2-OD2

=

3 4 - 1 4

=

2

2

．
（2）∵AE⊥BC，OE⊥BC，AE∩OE=E，
∴BC⊥面AOE，∵BC?平面ABC，∴面ABC⊥面AOE．
在面AOE中，作OF⊥AE，交AE于F，
则OF⊥面ABC，
∴OF的长即为点O到面ABC的距离．
∵AOE是等腰三角形，DE是底AO上的高，OF是AE边上的高，
由面积公式，得：

1

2

AO•DE=

1

2

AE•OF，
即

1

2

×1×

2

2

=

1

2

×

3

2

×OF，
解得OF=

6

3

，
∴点O到平面ABC的距离是

6

3

．

点评：本题考查线段长的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．