Question

如图，在四棱锥P ­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.

(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；

(2)求证：PD∥平面EAC.

Answer 1

解　(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.(3分)

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAB⊥平面PCB.(6分)

(2)∵PA⊥底面ABCD，又AD⊂平面ABCD，

∴PA⊥AD.

又∵PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，

∴AC⊥AD.

在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，

∴∠DCA＝∠BAC＝.又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．(4分)

∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.

连接BD，交AC于点M，则＝＝2.

在△BPD中，＝＝2，

∴PD∥EM

又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，

∴PD∥平面EAC.(14分)