Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E为边DC的中点，如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2.

(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；

(2)若平面AEP⊥平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥A ­MQB的体积．

图1　　　　　　　　图2　　

Answer 1

解　(1)连AC、BQ，设AC∩BQ＝F，连MF.

则平面PAC∩平面MQB＝MF，因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，所以PA∥MF.(2分)

在等腰梯形ABCD中，E为边DC的中点，所以由题设，AB＝EC＝2.

所以四边形ABCE为平行四边形，则AE∥BC.(4分)

从而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.

又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)

(2)由(1)知，△AED是边长为2的正三角形，从而PQ⊥AE.

因为平面AEP⊥平面ABCE，交线为AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.

因为PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交线为QC.(9分)

过点M作MN⊥QC于N，则MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱锥M ­ABQ的高．

因为PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN.

因为点M是PC的中点，所以MN＝PQ＝.(11分)

由(1)知，△ABE为正三角形，且边长为2.所以，S_△ABQ＝.

三棱锥A ­MQB的体积V_{A ­MQB}＝V_{M ­ABQ}＝＝.