Question

17．已知直线l₁：x+y-1=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB上的一点，$\overrightarrow{AM}$=-$\overrightarrow{BM}$，且点M在直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x上．
（I）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设椭圆左焦点为F₁，若∠AF₁B为钝角，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求出A，B的中点坐标，代入直线y=$\frac{1}{2}$x，求得a，b，c的关系，结合隐含条件求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b=c，结合∠AF₁B为钝角，即$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{{F}_{1}B}＜0$求出c的范围，再由$a=\sqrt{2}c$求得椭圆长轴长的取值范围．

解答 解：设A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）由$\overrightarrow{AM}$=-$\overrightarrow{BM}$，知M是AB的中点，由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=-（{x}_{1}+{x}_{2}）+2=\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴点M的坐标为$（\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}，\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}）$．
又点M在直线l₂上，∴$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}-\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=0$，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²，则$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，方程化为3x²-4x+2-2c²=0．
由△=16-24（1-c²）＞0，得$c＞\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2-2{c}^{2}}{3}$，y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=$-\frac{2{c}^{2}}{3}+\frac{1}{3}$．
由已知可得$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{{F}_{1}B}＜0$，即$（{x}_{1}+c，{y}_{1}）•（{x}_{2}+c，{y}_{2}）={x}_{1}{x}_{2}+c（{x}_{1}+{x}_{2}）+{c}^{2}+{y}_{1}{y}_{2}＜0$．
把根与系数的关系代入上式得c²-4c-3＞0，解得$c＞2+\sqrt{7}$或$c＜2-\sqrt{7}$，
综上，$c＞2+\sqrt{7}$．
又$a=\sqrt{2}c$，
∴2a的取值范围是（$4\sqrt{2}+2\sqrt{14}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程后，利用根与系数的关系求解，是中档题．