Question

7．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）写出直线l及曲线C的直角坐标方程
（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，求点M轨迹的直角坐标方程，并说明轨迹是什么图形．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M（x₀，y₀）以及平行于直线l的直线参数方程，直线l与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围．

解答 解：（1）∵直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，且经过原点，
故直线的直角坐标方程为y=x，
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设点M（x₀，y₀）及过点M的直线为l₁：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\\{y={y}_{0}+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$，
由直线l₁与曲线C相交可得：$\frac{3{t}^{2}}{2}$+$\sqrt{2}t{x}_{0}+2\sqrt{2}t{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2=0$，
∵|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，
∴|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{\frac{3}{2}}$|=$\frac{8}{3}$，即：${{x}_{0}}^{2}+{{2y}_{0}}^{2}=6$，
∴点M轨迹的直角坐标方程x²+2y²=6，表示一椭圆．
取y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{2}$得：3x²+4mx+2m²-2=0
由△≥0得-$\sqrt{3}$$≤m≤\sqrt{3}$
故点M的轨迹是椭圆x²+2y²=6夹在平行直线y=x$±\sqrt{3}$之间的两段弧．

点评 本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．