Question

12．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=$\frac{15}{2}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标，再由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求出离心率；
（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．
直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x-c），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-c）}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，得 （3a²+b²）y²+2$\sqrt{3}$b²cy-3b⁴=0．
解得y₁=-$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，y₂=-$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
因为$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，所以-y₁=2y₂．
即-$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$=2•$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
解得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$；
另解：运用椭圆的第二定义，
设FB=m，AF=2m，
由三角形的相似性质，
可得$\frac{\frac{m}{2}}{\frac{m}{e}}$=$\frac{1}{3}$，
解得e=$\frac{2}{3}$；
（2）因为|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•|y₂-y₁|，
∴$\frac{15}{2}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\frac{4\sqrt{3}{b}^{2}a}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$得b=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，所以$\frac{5}{4}$a=$\frac{15}{2}$，
解得a=6，b=2$\sqrt{5}$．
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

点评 本题考查椭圆的性质和标准方程，以及直线和椭圆的位置关系，准确进行式子的变形和求值，是解题的难点，属于中档题．