Question

19．若过点 M（1，0）作直线交抛物线C：y²=x于 A，B两点，且满足$\overrightarrow{{A}{M}}=λ\overrightarrow{{M}{B}}$，过 A，B两点分别作抛物线C的切线l₁，l₂，l₁，l₂的交点为 N．
参考公式：过抛物线y²=2px上任一点（x₀，y₀）作抛物线的切线，则切线方程为yy₀=p（x+x₀）．
（I）求证：点 N在一条定直线上；
（II）若λ∈[4，9]，求直线 MN在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先表示出过点A的切线和过点B的切线，然后两直线联立可求出点N的坐标，即可得到点N在定直线x=-1上；
（Ⅱ）根据$\overrightarrow{{A}{M}}=λ\overrightarrow{{M}{B}}$，可知（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），进而可联立方程可求得$\frac{1}{{k}^{2}}$的表达式，进而求得范围，最后根据直线MN在y轴的截距，进而可得答案．

解答 解：（I）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），
联立抛物线的方程，可得ky²-y-k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得y₁y₂=-1，y₁+y₂=$\frac{1}{k}$，
由点A处的切线的方程为y₁y=$\frac{1}{2}$（x+x₁），
由点B处的切线的方程为y₂y=$\frac{1}{2}$（x+x₂），
且y₁²=x₁，y₂²=x₂，
可得y₁，y₂是关于t的方程t²-2ty+x=0，
即有y₁y₂=x，
即有x=-1，即为交点N的横坐标，
故点N在一条定直线x=-1上；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$，∴（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），
联立可得$\left\{\begin{array}{l}{-{y}_{1}=λ{y}_{2}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{k}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{（1-λ）^{2}}{λ}$=$\frac{{λ}^{2}-2λ+1}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$-2，4≤λ≤9，
∴$\frac{9}{4}$≤$\frac{1}{{k}^{2}}$≤$\frac{64}{9}$即有$\frac{3}{2}$≤$\frac{1}{k}$≤$\frac{8}{3}$或-$\frac{8}{3}$≤$\frac{1}{k}$≤-$\frac{3}{2}$，
由（Ⅰ）可得N（-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）即为（-1，$\frac{1}{2k}$），
直线MN：y=-$\frac{1}{4k}$（x-1）在y轴的截距为$\frac{1}{4k}$，
∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[$\frac{3}{8}$，$\frac{2}{3}$]∪[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{3}{8}$]．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，涉及了抛物线的性质，向量的计算，不等式等知识，属于中档题．