Question

2．求证：连续n个正整数的乘积是n!的倍数．

Answer 1

分析 n个连续的正整数之积可表示为：S=k（k+1）（k+2）（k+3）…（k+n-1）=${A}_{k+n-1}^{n}$=${C}_{k+n-1}^{n}$•n!，命题得以证明．

解答 证明：不妨设这n个连续的正整数分别为：
k，k+1，k+2，k+3，…，k+n-1，（k，n∈N^*），
它们的积记为S=k（k+1）（k+2）（k+3）…（k+n-1），
根据排列数公式，上式也可以写成：${A}_{k+n-1}^{n}$，
即S=${A}_{k+n-1}^{n}$，
再根据排列数和组合数之间的关系式，${A}_{m}^{n}$=${C}_{m}^{n}$•${A}_{n}^{n}$，
因此，${A}_{k+n-1}^{n}$=${C}_{k+n-1}^{n}$•${A}_{n}^{n}$，
所以，S=${A}_{k+n-1}^{n}$=${C}_{k+n-1}^{n}$•${A}_{n}^{n}$=${C}_{k+n-1}^{n}$•n!，
即k（k+1）（k+2）（k+3）…（k+n-1）=M•n!，
其中，M=${C}_{k+n-1}^{n}$∈N^*，
所以，这连续n个正整数的乘积是n!的倍数．

点评 本题主要考查了整数中的整除问题，运用了构造法将问题转化为排列数与组合数的计算问题，属于中档题．