Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=bcosA．
（1）求证：a=b
（2）若sinA=$\frac{3}{5}$，求sin（C$+\frac{3}{4}π$）的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，即可证明．
（2）由（1）可得：C=π-2A，利用sinA=$\frac{3}{5}$，A为锐角，可得：cosA，sin2A，cos2A的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值．

解答 解：（1）证明：已知等式利用正弦定理化简得：sinBcosA=sinAcosB，
即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∵A，B都为三角形内角，
∴A-B=0，即A=B，则三角形形状为等腰三角形．
∴a=b．得证．
（2）∵由（1）可得：C=π-A-B=π-2A，
∵sinA=$\frac{3}{5}$，A为锐角，可得：cosA=$\frac{4}{5}$，sin2A=2sinAcosA=$\frac{24}{25}$，cos2A=2cos²A-1=$\frac{7}{25}$，
∴sin（C$+\frac{3}{4}π$）=sin（π-2A$+\frac{3}{4}π$）=-sin（$\frac{π}{4}$+2A）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2A+sin2A）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{7}{25}$+$\frac{24}{25}$）=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．