Question

9．为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N⁺）：以f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{200n+2000，n∈[1，8]}\\{360•{3}^{\frac{n-8}{12}}+3000，n∈[9，32]}\\{32400-720n，n∈[33，45]}\end{array}\right.$表示第n时进入人数，以g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{0，n[1，18]}\\{500n-9000，n∈[19，32]}\\{8800，n∈[33，45]}\end{array}\right.$表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？
（2）假设当日园区游客人数达到或超过8万时，园区将采取限流措施，该单位借助该数学模型知晓当天16点（即n=28）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数性质能求出当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）．
（2）求出f（28）-g（28）=77264＜80000，从而得到当日不需要采取限流措施．

解答 解：（1）f（21）+f（22）+f（23）+f（24）
=360×（${3}^{\frac{21-8}{12}}$+${3}^{\frac{22-8}{12}}$+${3}^{\frac{23-8}{12}}$+${3}^{\frac{24-8}{12}}$）+3000×4
=$360×（{3}^{\frac{13}{12}}+{3}^{\frac{14}{12}}+{3}^{\frac{15}{12}}+{3}^{\frac{16}{12}}）$+12000
=360×$\frac{{3}^{\frac{13}{12}}（1-{3}^{\frac{4}{12}}）}{1-{3}^{\frac{1}{12}}}$+12000
=17460．
g（21）+g（22）+g（23）+g（24）
=500（21+22+23+24）-9000×4
=9000．
（2）f（28）-g（28）=（360×${3}^{\frac{28-8}{12}}$+3000）-（500×28-9000）=77264，
∵当日园区游客人数达到或超过8万时，园区将采取限流措施，
77264＜80000，
∴当日不需要采取限流措施．

点评 本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．