Question

14．平面直角坐标系中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的两点M，N，点P（2，1）为线段MN的中点，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求直线MN的方程；
（2）若F₁是椭圆C右焦点，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=-$\frac{1}{3}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{m}^{2}}$=1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用点差法能求出直线MN的方程．
（2）设F₁（c，0），则$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（x₁-c，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（x₂-c，y₂），从而得到3c²-12c+1+3（x₁x₂+y₁y₂）=0，联立联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，得3x²-12x-4m²+18=0，从而x₁x₂+y₁y₂=9-$\frac{8{m}^{2}}{3}$，由此能求出椭圆C的方程．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的两点M，N，点P（2，1）为线段MN的中点，
椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{m}^{2}}$=1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{m}^{2}}$=1，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4{m}^{2}}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，
∴直线MN的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
（2）设F₁（c，0），则$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（x₁-c，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（x₂-c，y₂），
∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=-$\frac{1}{3}$，
∴（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=-$\frac{1}{3}$，（*）
又x₁+x₂=4，故由（*）式整理，得：3c²-12c+1+3（x₁x₂+y₁y₂）=0，①
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4{m}^{2}}\end{array}\right.$，得3x²-12x-4m²+18=0，
△＞0，x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{18-4{m}^{2}}{3}$，
y₁y₂=（3-x₁）（3-x₂）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=2×$\frac{18-4{m}^{2}}{3}$-3×4+9=9-$\frac{8{m}^{2}}{3}$，②
c=$\sqrt{4{m}^{2}-2{m}^{2}}$=$\sqrt{2}m$，③
①②③联立，得：2m²+12$\sqrt{2}m$-28=0，
解得m=$\sqrt{2}$或m=-7$\sqrt{2}$（舍），
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差数、椭圆性质的合理运用．