Question

4．是否存在实数x，使得（x+$\sqrt{3}$i）³=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{1}{81}$成立？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由对数运算知log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{1}{81}$=-8，从而化简可得x³+3x（$\sqrt{3}$i）²+3x²$\sqrt{3}$i+（$\sqrt{3}$i）³=-8，从而解得．

解答 解：由对数运算知，log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{1}{81}$=-8，
故（x+$\sqrt{3}$i）³=-8，
即x³+3x（$\sqrt{3}$i）²+3x²$\sqrt{3}$i+（$\sqrt{3}$i）³=-8，
即x³-9x+3x²$\sqrt{3}$i-3$\sqrt{3}$i=-8，
故$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-9x=-8}\\{3\sqrt{3}{x}^{2}-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得，x=1．

点评 本题考查了对数运算的应用及复数相等的应用，属于基础题．