Question

17．若函数y=f（x）x∈[0，1]同时满足下列三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③任意x₁，x₂∈[0，1]，当x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，我们就称f（x）为“稳定函数”．请根据上述信息解决以下问题：
（1）已知h（x）是稳定函数，求h（0）的值；
（2）若函数g（x）=a^x-1（a＞0且a≠1），问是否存在实数a，使得g（x）是稳定函数？请说明理由；
（3）已知f（x）是稳定函数，存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]且f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）首先根据稳定函数的概念，可以采用赋值法，可得h（0）=0；
（2）根据“稳定函数”的定义，先满足②得a=2，然后检验函数g（x）=2^x-1，是否满足理想函数的三个条件即可；
（3）根据“稳定函数”的定义进行推导即可．

解答 解：（1）取x₁=x₂=0，代入h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），可得h（0）≥h（0）+h（0）
即h（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，总有h（x）≥0可得h（0）≥0，
∴h（0）=0；
（2）若存在实数a，使得g（x）是稳定函数，
则若满足g（1）=1得g（1）=a-1=1，则a=2，
当a=2时，g（x）=2^x-1，
①显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0，
故g（x）=2^x-1满足条件①②③，
即存在实数a=2，使得g（x）是稳定函数．
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，函数的新定义则转化为函数性质问题，本题则结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．综合性较强．