Question

12．已知a∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{cos2α}{cos（α-\frac{π}{4}）}$的值为（　　）

• A． -$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． -$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根据sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及α的取值范围求出sinα-cosα的值，再把$\frac{cos2α}{cos（α-\frac{π}{4}）}$化简，把（sinα-cosα）的值代入即可得解．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{1}{2}$，
化简得，sin²α+cos²α+2sinαcosα=$\frac{1}{2}$，
∵sin²α+cos²α=1，
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{2}$，2sinαcosα=-$\frac{1}{2}$，
∴（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），2sinαcosα=-$\frac{1}{2}$，∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$\frac{cos2α}{cos（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{（cosα-sinα）（cosα+sinα）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（cosα+sinα）}$=$\frac{-\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=-$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了利用同角三角函数关系式，已知sinα+cosα的值，求sinα-cosα的值，以及利用两角的和差的三角函数化简求值，考查学生综合运用公式的能力，属于基础题．