Question

3．设a＞0，b＞0．若3是3^a与3^b的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由等比中项的概念可得3^a•3^b=9，化简得a+b=2，然后利用基本不等式的性质求得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值．

解答 解：由3是3^a与3^b的等比中项，得3^a•3^b=9，即a+b=2，
∴$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=1$，
则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}$）=$\frac{1}{2}+1+\frac{b}{2a}+\frac{a}{b}≥\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{a}{b}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当$b=\sqrt{2}a$时上式等号成立．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项公式，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．