Question

8．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x_i表示，${x_i}=\left\{{\begin{array}{l}{0，\;\;如果某学生不具有第i项能力特征}\\{1，\;如果某学生具有第i项能力特征}\end{array}}\right.$，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a₁，a₂，…，a₁₂），B=（b₁，b₂，…，b₁₂），则A，B两名学生的不同能力特征项数为$\sum_{i=1}^{12}{|{a_i}-{b_i}|}$（用a_i，b_i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．

Answer 1

分析 根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．

解答 解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，
则用x_i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a₁-b₁|+|b₂-c₂|+…+|c₁₂-a₁₂|=$\sum_{i=1}^{12}{|{a_i}-{b_i}|}$，
设第三个学生为C=（c₁，c₂，…，c₁₂），
则d_i=|a_i-b_i|+|b_i-c_i|+|c_i-a_i|，1≤i≤12，
∵d_i的奇偶性和（a_i-b_i）+（b_i-c_i）+（c_i-a_i）=0一样，∴d_i是偶数，
3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d₁+d₂+…+d₁₂为偶数，
又S≥7×3=21．则S≥22，
取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），
则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，
故答案为：$\sum_{i=1}^{12}{|{a_i}-{b_i}|}$，22

点评 本题主要考查函数的应用问题，读懂题意建立条件关系是解决本题的关键．