Question

已知中，顶点，边上的中线所在直线的方程是，边上高所在直线的方程是．

（1）求点、的坐标； （2）求的外接圆的方程．

 

Answer 1

（1） （2）或

【解析】

试题分析：（1）求,点就设,点的坐标,同时可以表示出的坐标,根据在上,且中点在上.两式联立可求出;根据在上,且得到,两式联立可求出.

（2）所求的圆经过三角形的三个顶点,所以设出圆的一般方程,将,,代入解方程组即可得到所求圆的方程.或者根据三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，所以可以根据（1）中的,和已知的求两个边的垂直平分线,取其交点做圆心,该点到各个顶点的距离为半径,求出圆的方程.

试题解析：（1）由题意可设,则的中点.

因为的中点必在直线上,代入有①

又因为在直线上，所以代入有②

由①②联立解得.则,

因为在直线上，代入有③

又因为直线,所以有,则有④

根据③④有.

（2）因为三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，

所以找到三角形两边的垂直平分线求得的交点就是外接圆的圆心，该点到各顶点的距离就是半径.

根据两点,可得斜率为,所以中垂线斜率为,中点为,则中垂线为⑤

同理可得直线的中垂线为⑥,

由⑤⑥可得圆心，半径为，所以外接圆为

法二：（2）设外接圆的方程为，其中。

因为三角形的个顶点都在圆上，所以根据（1），将三点坐标代入有：

解得

∴外接圆的方程为．

考点：三角形中，中线，垂线与各边，各个顶点的关系；外接圆的求法.