Question

（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E₁，然后复原，记∠CDE₁=α₁；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E₁D重合，得到折痕E₂D，然后复原，记∠ADE₂=α₂；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E₂D重合，得到折痕E₃D，然后复原，记∠CDE₃=α₃；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α₁，α₂，…，α_n，…，则

lim

n→∞

αn=

π

6

．

Answer 1

分析：由第二步、第三步，…依此类推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．若α1=

π

6

，则αn=

π

6

；若α1≠

π

6

，则数列{αn-

π

6

}是以α1-

π

6

为首项，-

1

2

为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式就得出α_n，再利用数列极限即可得出．

解答：解：由第二步可知：α2=

1

2

(

π

2

-α1)；由第三步可知：α3=

1

2

(

π

2

-α2)，…依此类推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．
∴αn=-

1

2

αn-1-

π

4

，
∴αn-

π

6

=-

1

2

(αn-1-

π

6

)，
①若α1=

π

6

，则αn=

π

6

，此时

lim

n→∞

αn=

π

6

；
②若α1≠

π

6

，则数列{αn-

π

6

}是以α1-

π

6

为首项，-

1

2

为公比的等比数列，
∴αn-

π

6

=(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1，即αn=(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1+

π

6

．
∴

lim

n→∞

αn=

lim

n→∞

[(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1+

π

6

]=

π

6

．
综上可知：

lim

n→∞

αn=

π

6

．
故答案为

π

6

．

点评：由第二步、第三步，…依此类推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．及熟练掌握等比数列的通项公式和数列极限的定义和运算法则是解题的关键．