Question

6．判断函数f（x）=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上的单调性并证明．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，然后作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{x}_{1}}$-$\sqrt{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$；
又因为x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$＞0；
于是f（x₁）-f（x₂）＜0；
即f（x₁）＜f（x₂）；
所以函数f（x）=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是增函数．

点评 考查单调性的定义，以及根据单调性定义证明函数单调性的方法与过程．