已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
(1)对于任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;(2)f(1)=1
(3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)
(Ⅰ)试求f(0)的值;
(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值;
(Ⅲ)试证明:满足上述条件的函数f(x)对一切实数x,都有f(x)≤2x.
解:(Ⅰ)∵f(x
1+x
2)≥f(x
1)+f(x
2)
∴f(1+0)≥f(1)+f(0),
∴f(0)≤0,
∵f(0)≥0,
故f(0)=0.
(Ⅱ)因为0≤x
1<x
2≤1,则0<x
2-x
1<1,
所以f(x
2)=f(x
2-x
1+x
1)≥f(x
2-x
1)+f(x
1)≥f(x
1)
故有f(x
1)≤f(x
2).
∴f(x)在[0,1]内是增函数,
于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1
因此,当x=1时,f(x)有最大值为1;
(Ⅲ)证明:研究①当x∈
时,f(x)≤1<2x.
②当x∈
时,
首先,f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),
∴
,
显然,当x∈
时,
f(x)≤
成立.
假设当
时,有f(k)
成立,其中k=1,2,…
那么当
时,
f(x)≤
=
,
可知对于
,总有
,其中n=1,2,…
而对于任意
,存在正整数n,使得
,
此时
.…11分
③当x=0时,f(0)=0≤2x…12分
综上可知,满足条件的函数f(x),对x∈[0,1],总有f(x)≤2x成立.
分析:(Ⅰ)直接取x
1=1,x
2=0利用f(x
1+x
2)≥f(x
1)+f(x
2)可得:f(0)≤0,再结合已知条件f(0)≥0即可求得f(0)=0;
(Ⅱ)由0≤x
1<x
2≤1,则0<x
2-x
1<1,故有f(x
2)=f(x
2-x
1+x
1)≥f(x
2-x
1)+f(x
1)≥f(x
1),即f(x)在[0,1]内是增函数,故函数f(x)的最大值为f(1);
(Ⅲ)①当x∈
时,f(x)≤1<2x;②当x∈
时,f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),
,当x∈
时,f(x)≤
成立.假设当
时,有f(k)
成立,其中k=1,2,…那么当
时,f(x)≤
=
,故对于任意
,存在正整数n,使得
,此时
;当x=0时,f(0)=0≤2x.所以,满足条件的函数f(x),对x∈[0,1],总有f(x)≤2x成立.
点评:本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查,在做关于新定义的题目时,一定要先研究定义,在理解定义的基础上再做题.解题时要认真审题,注意数学归纳法的合理运用.