Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosB（tanAtanB+tanCtanB）=tanAtanC，
（1）求证：a，b，c成等比数列；
（2）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：等比关系的确定,同角三角函数基本关系的运用,余弦定理

专题：等差数列与等比数列,解三角形

分析：（1）根据同角的三角函数的关系式将条件进行化简，结合正弦定理和余弦定理，以及等比数列的定义即可证明a，b，c成等比数列；
（2）根据条件求出b，结合余弦定理求出cosB，利用三角形的面积公式即可求△ABC的面积S．

解答： （1）证明：由cosB（tanAtanB+tanCtanB）=tanAtanC，
得cosB（

sinAsinB

cosAcosB

+

sinCsinB

cosBcosC

）=

sinCsinA

cosAcosC

，
即

sinAsinB

cosA

+

sinCsinB

cosC

=

sinCsinA

cosAcosC

，
则sinAsinBcosC+cosAsinBsinC=sinAsinC，
由正弦定理和余弦定理得ab•

a2+b2-c2

2ab

+bc•

b2+c2-a2

2bc

=ac，
即a²+b²-c²+b²+c²-a²=2ac，
则2b²=2ac，
即b²=ac，故a，b，c成等比数列．
（2）∵b²=ac，
∴当a=1，c=2时，b²=ac=2，即b=

2

，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1+4-2

2×1×2

=

3

4

，
∴sinB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
则三角形的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×1×2×

7

4

=

7

4

．

点评：本题主要考查等比数列的判断，以及正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力．