Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求证：平面PAD与平面PAB垂直；
（2）求直线PC与直线AB所成角的余弦值．（请用空间向量知识求解）

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB．由于AD∥BC，可得AD⊥平面PAB，即可证明平面PAD与平面PAB垂直．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出．

解答： 证明：（1）∵∠PBC=90°，∴BC⊥PB．
∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，
又AB∩PB=B，
∴BC⊥平面PAB．
∵AD∥BC，
∴AD⊥平面PAB，
∴平面PAD与平面PAB垂直．
（2）解：建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），P(

3

2

，-

1

2

，0)．
∴

PC

=(-

3

2

，

5

2

，1)，

AB

=（0，2，0）．
∴cos＜

PC

，

AB

＞=

PA • AB

| PA || AB |

=

5

4 2

=

5 2

8

．

点评：本题考查了线面面面垂直的判定定理与性质定理、向量的夹角公式，属于基础题．