Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4$\sqrt{3}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）求|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）运用向量的夹角公式cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，计算即可得到所求夹角；
（2）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4$\sqrt{3}$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2×4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈[0，π]，
可得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$；
（2）|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=3$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=3×4+16+2$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=52，
则|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查向量的夹角的求法，注意运用向量的夹角公式，考查向量的模的求法，注意运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，属于基础题．