Question

6．已知函数f（x）=ax+lnx-$\frac{{x}^{2}}{x-lnx}$有三个不同的零点x₁，x₂，x₃（其中x₁＜x₂＜x₃），则（1-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$）²（1-$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$）（1-$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$）的值为（　　）

• A． 1-a
• B． a-1
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 先分离参数得到a=$\frac{x}{x-lnx}$-$\frac{lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{x}{x-lnx}$-$\frac{lnx}{x}$．求导后得其极值点，h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．再令a=$\frac{1}{1-μ}$-μ，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ₁+μ₂=1-a＜0，μ₁μ₂=1-a＜0，再结合μ=$\frac{lnx}{x}$的图象可得到（1-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$）²（1-$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$）（1-$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$）的值．

解答 解：令f（x）=0，分离参数得a=$\frac{x}{x-lnx}$-$\frac{lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{x}{x-lnx}$-$\frac{lnx}{x}$，
由h′（x）=$\frac{lnx（1-lnx）（2x-lnx）}{{x}^{2}（x-lnx）^{2}}$=0，得x=1或x=e．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．
∴0＜x₁＜1＜x₂＜e＜x₃，
a=$\frac{x}{x-lnx}$-$\frac{lnx}{x}$=$\frac{1}{1-\frac{lnx}{x}}$-$\frac{lnx}{x}$，令μ=$\frac{lnx}{x}$，
则a=$\frac{1}{1-μ}$-μ，即μ²+（a-1）μ+1-a=0，
μ₁+μ₂=1-a＜0，μ₁μ₂=1-a＜0，
对于μ=$\frac{lnx}{x}$，μ′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．
画其简图，
不妨设μ₁＜μ₂，则μ₁=$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$，μ₂=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$=μ₃，
∴（1-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$）²（1-$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$）（1-$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$）=（1-μ₁）²（1-μ₂）（1-μ₃）
=[（1-μ₁）（1-μ₂）]²=[1-（1-a）+（1-a）]²=1．
故选：D．

点评 本题考察了利用函数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强属于压轴题范畴．