Question

18．已知关于x的不等式ax²+bx+3＞0的解集为（-1，3）．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式x²+a|x-2|-8＜0．

Answer 1

分析 （1）根据韦达定理即可求出a，b的值，
（2）需要分类讨论，分a≥2或a＜2时，去绝对值，解不等式即可．

解答 解：（1）x的不等式ax²+bx+3＞0的解集为（-1，3）．
故-1和3是方程ax²+bx+3=0的两个根，
∴-1+3=-$\frac{b}{a}$，-1×3=$\frac{3}{a}$，
∴a=-1，b=2，
（2）由（1）可知a=-1，则x²+a|x-2|-8＜0即为x²-|x-2|-8＜0
当x≥2时，x²-x-6＜0，即（x-3）（x+2）＜0，解得2≤x＜3，
当x＜2时，x²+x-10＜0，解得$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$＜x＜2，
综上所述：不等式的解集为{x|$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$＜x＜3}．

点评 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次不等式的应用，属于基础题．