Question

13．若动点M（x，y）始终满足关系式$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=8，则动点N的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}$=1
• B． $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}$=1
• C． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{16}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 由$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=8的几何意义，即动点M（x，y）到两定点（0，-2）和（0，2）的距离和为定长8，可知动点M的关键为焦点在y轴上的椭圆，且求出a，c的值，结合隐含条件求得b值，则椭圆方程可求．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=8的几何意义为动点M（x，y）到两定点（0，-2）和（0，2）的距离和为定长8，
∵两定点距离为4，且8＞4，
∴动点M的轨迹是以（0，-2）和（0，2）为焦点，长轴长是8的椭圆，
则a=4，c=2，∴b²=a²-c²=16-4=12，
则动点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的定义，训练了由椭圆定义求椭圆标准方程的方法，是中档题．