Question

如图，下列五个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出I垂直于平面MNP的图形的序号是

 

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Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，根据M，N分别为中点，判断出MN∥AC，由四边形ABCD为正方形，判断出AC⊥BD进而根据DD′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，判断出DD′⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理推断出AC⊥平面DBB′，根据线面垂直的性质可知AC⊥DB′，利用线面垂直的判定定理推断出由MN∥AC，推断出DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，利用线面垂直的判定定理推断出DB′⊥平面MNF．④中由①中证明可知I⊥MP，根据MN∥AC，AC⊥I，推断出I⊥MN，进而根据线面垂直的判定定理推断出I⊥平面MNP，同理可证明⑤中I⊥平面MNP．

解答： 解：设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，
∵M，N分别为中点，
∴MN∥AC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∵BB′∩DB′=B，BB′?平面DBB′，AC?平面DBB′，
∴AC⊥平面DBB′，
∵DB′?平面DBB′，
∴AC⊥DB′，
∵MN∥AC，
∴DB′⊥MN，
同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，
∵MF∩NF=F，MF?平面MNF，NF?平面MNF，
∴DB′⊥平面MNF，即I垂直于平面MNP，故①正确．
④中由①中证明可知I⊥MP，
∵MN∥AC，
AC⊥I，
∴I⊥MN，
∴I⊥平面MNP，
同理可证明⑤中I⊥平面MNP．
故答案为：①④⑤

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理．考查了学生空间思维能力和观察能力．