Question

已知向量

a

，

b

，

c

，满足|

a

|=2，|

a

-

b

|=|

b

|，（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，若对于每一确定的

b

，|

c

|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意

b

，m-n的最小值是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  3

  4

• D、1

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：令

OA

=

a

可得A在半径为2的圆上，令

OB

=

b

可得B在线段OA的中垂线上，令

OC

=

c

可得C点在以线段AB为直径的圆M上，可得m-n就是圆M的直径|AB|，由几何知识可得．

解答： 解：∵|

a

|=2，∴令

OA

=

a

，则A必在半径为2的圆上，
又∵|

a

-

b

|=|

b

|，∴令

OB

=

b

，则B必在线段OA的中垂线上，
令

OC

=

c

，∵（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，
∴C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记

OC

=

c

，
可得m-n就是圆M的直径|AB|
显然，当点B在线段OA的中点时，（m-n）取最小值
即（m-n）_min=1
故选：D

点评：本题考查两向量的和与差的模的最值，判断出A，B，C三点的位置关系，及m-n的几何意义，是解决本题的关键，属中档题．