Question

已知a≥0，函数f(x)=a2+

2

cos(x-

π

4

)+

1

2

sin2x的最大值为

25

2

，则实数a的值是

12-2 2

．

Answer 1

分析：通过两角差的余弦函数以及二倍角公式，利用换元法通过配方法求出函数的最大值，然后求出a的值．

解答：解：y=f(x)=a2+

2

cos(x-

π

4

)+

1

2

sin2x
=a2+

2

cosxcos

π

4

+

2

sinxsin

π

4

+  sinxcosx
=a²+cosx+sinx+sinxcosx
令t=cosx+sinx=

2

cos（x+

π

4

）-

2

≤t≤

2

，
y=a²+t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1+a²
t=

2

时y_max=

2

+

1

2

+a²=

25

2

a²=12-

2

∵a≥0 
∴a=

12-2 2

．
故答案为：

12-2 2

．

点评：本题考查三角函数的最大值的求法，二倍角公式的应用，换元法的应用，考查计算能力．