Question

已知a≥0，函数f（x）=（x²-2ax）e^x．
（1）当a=0时讨论函数的单调性；
（2）当x取何值时，f（x）取最小值，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入f（x）对其进行求导，得到最值，利用导数研究其最值问题，从而求解；
（2）当x取何值时，f（x）取最小值，可以对f（x）进行求解，利用导数研究其单调性，注意x≤0时，f（x）是大于0的，利用此信息进行求解；

解答：解：（1）a=0，可得f（x）=x²e^x，可得f′（x）=2xe^x+x²e^x=e^x（x²+2x），
若f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2，f（x）是增函数，
若f′（x）＜0，可得-2＜x＜0，可得f（x）是减函数，
∴f（x）的增区间为：（0，+∞），（-∞，-2）；
f（x）的减区间为：（-2，0）；
（2）∵a≥0，函数f（x）=（x²-2ax）e^x．
当x≤0时f（x）≥0…（8分）
f′（x）=（2x-2a）e^x+e^x（x²-2ax）=e^x（x²-2ax+2x-2a），
令f′（x）=0，可得x²-2ax+2x-2a=0，△=2

1+a2

＞0，
可得x₁=a-1+

1+a2

，x₂=a-1-

1+a2

，
f（x）在（x₂，x₁）上为减函数，
f（x）在（x₁，+∞），（-∞，x₂）上为增函数，
∵当x≤0时f（x）≥0…（8分）
f（x）在x=a-1+

1+a2

处取得极小值也是最小值；
然后由f（x）在[0，+∞）上单调性即得：
当x=a-1+

1+a2

时取得最小值；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，第一问是一种特殊的情况，第二问一种普遍的情况，此题是一道基础题；