Question

已知a≥0，函数f（x）=x²+ax．设x1∈(-∞，-

a

2

)，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l，l与x轴的交点是N（x₂，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：x2=

x 2 1

2x1+a

；
（Ⅱ）若对于任意的x1∈(-∞，-

a

2

)，都有

OM

•

ON

＞

9a

16

成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f'（x），把x=x₁代入到导函数中求出切线l的斜率，并代入到f（x）中求出f（x₁），写出切线方程，然后令y=0求出与x轴的交点横坐标x即x₂得证；
（Ⅱ）根据第一问写出M和N的坐标，算出

OM

与

ON

的数量积，当a等于0时不等式成立，当a大于0时设g（x₁）等于数量积，求出导函数等于0时，x₁的值，然后利用x1∈(-∞，-

a

2

)讨论导函数的正负得到函数的单调区间，利用函数的增减性得到g（x₁）的最小值大于

9a

16

列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）证明：对f（x）求导数，得f'（x）=2x+a，故切线l的斜率为2x₁+a，
由此得切线l的方程为y-（x₁²+ax₁）=（2x₁+a）（x-x₁）．
令y=0，得x2=-

x 2 1 +ax1

2x1+a

+x1=

x 2 1

2x1+a

．
（Ⅱ）由M(x1，

x

2 1

+ax1)，N(

x 2 1

2x1+a

，0)，得

OM

•

ON

=

x 3 1

2x1+a

．
所以a=0符合题意；
当a＞0时，记g(x1)=

x 3 1

2x1+a

，x1∈(-∞，-

a

2

)．
对g（x₁）求导数，得g′(x1)=

x 2 1 (4x1+3a)

(2x1+a)2

，
令g'（x₁）=0，得x1=-

3a

4

∈(-∞，-

a

2

)．
当x1∈(-∞，-

a

2

)时，g'（x₁）的变化情况如下表：
所以，函数g（x₁）在(-∞，-

3a

4

)上单调递减，
在(-

3a

4

，-

a

2

)上单调递增，从而函数g（x₁）的最小值为g(-

3a

4

)=

27

32

a2．
依题意

27

32

a2＞

9a

16

，解得a＞

2

3

，即a的取值范围是(

2

3

，+∞)．
综上，a的取值范围是(

2

3

，+∞)或a=0．

点评：考查学生会进行平面向量的数量积的运算，掌握不等式恒成立时所取的条件，会利用导数求闭区间上函数的最小值，会利用导数研究曲线上某点切线的方程．