Question

已知a≥0，函数f（x）=（x²-2ax）e^x．
（Ⅰ）当x为何值时，f（x）取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求两个函数乘积的导函数，令其等于0，求出极值点，判断单调性，进而求出最小值；
（Ⅱ）f（x）在[-1，1]上是单调函数，即其导函数恒大于等于或小于等于零，转化为不等式恒成立问题，再通过构造函数转化为求函数最值，利用导数的方法即可解决．

解答：解：（1）令f'（x）=0即[x²-2（a-1）x-2a]e^x=0∴x²-2（a-1）x-2a=0
∵△=[2（a-1）]²+8a=4（a²+1）＞0∴x₁=a-1-

a2+1

，x₂=a-1+

a2-1

又∵当x∈（-∞，a-1-

a2+1

）时，f'（x）＞0；
当x∈（a-1-

a2+1

，a-1+

a2+1

）时，f'（x）＜0；
当x∈（a-1+

a2+1

，+∞）时，f'（x）＞0．
列表如下：

∴x₁，x₂分别为f（x）的极大值与极小值点．
又∵

lim

x→-∞

f（x）=0；当x→+∞时，f（x）→+∞．
而f（a-1+

a2+1

）=2（1-

a2+1

）ea-1+

a2+1

＜0．
∴当x=a-1+

a2+1

时，f（x）取得最小值．

（2）f（x）在[-1，1]上单调，则f'（x）≥0（或≤0）在[-1，1]上恒成立．
而f'（x）=[x²-2（a-1）x-2a]e^x，令g（x）=x²-2（a-1）x-2a=[x-（a-1）]²-（a²+1）．
∴f'（x）≥0（或≤0）即g（x）≥0（或≤0）．
当g（x）≥0在[-1，1]上恒成立时，有
①当-1≤a-1≤1即0≤a≤2时，g（x）_min=g（a-1）=-（a²+1）≥0（舍）；
②当a-1＞1即a≥2时，g（x）_min=g（1）=3-4a≥0∴a≤

3

4

（舍）．
当g（x）≤0在[-1，1]上恒成立时，有
①当-1≤a-1≤0即0≤a≤1时，g（x）_max=g（1）=3-4a≤0，∴

3

4

≤a≤1；
②当0＜a-1≤1即1＜a≤2时，g（x）_max=g（-1）=-1≤0，∴1＜a≤2；
③当1＜a-1即a＞2时，g（x）_max=g（-1）=-1≤0，∴a＞2．
故a∈[

3

4

，+∞）．

点评：本题考查函数单调性的性质，导数在函数最大值、最小值中的应用，灵活运用分类讨论思想与转化思想是解决此类题目的关键，属于中档题．