Question

已知a≠0，函数f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间(0，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，试求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，当f'（x）＜0时的x的区间即是原函数的单调递减区间．
（2）令F（x）=f（x）-g（x），只要函数F（x）在区间（0，

1

2

]上的最大值大于0即可得到答案．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

求导得，f'（x）=a²x²-2ax．
①当a＞0时，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-

2

a

)＜0，解得0＜x＜

2

a

所以f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

在(0，

2

a

)上递减．
②当a＜0时，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-

2

a

)＜0可得

2

a

＜x＜0
所以f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

在(

2

a

，0)上递减．
综上：当a＞0时，f（x）单调递减区间为(0，

2

a

)；
当a＜0时，f（x）单调递减区间为(

2

a

，0)
（Ⅱ）设F(x)=f(x)-g(x)=

1

3

a2x3-ax2+ax-

1

3

x∈(0，

1

2

]．
对F（x）求导，得F'（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x），
因为x∈(0，

1

2

]，a＞0，所以F'（x）=a²x²+a（1-2x）＞0，F（x）在区间(0，

1

2

]上为增函数，则F(x)max=F(

1

2

)．
依题意，只需F（x）_max＞0，即

1

3

a2×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0，
即a²+6a-8＞0，解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）．
所以正实数a的取值范围是(-3+

17

，+∞)．

点评：本题主要考查通过求导求函数增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．