Question

在平面直角坐标系中，若

a

=（x-

3

，y），

b

=（x+

3

，y），且|

a

|+|

b

|=4，
（I）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知定点P（t，0）（t＞0），若斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A，B，且对于轨迹C上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立，试求出满足条件的实数t的值．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）|

a

|+|

b

|=4符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可；
（Ⅱ）用参数确定M的坐标，代入椭圆方程，可得x₁x₂+4y₁y₂=0，利用韦达定理，即可求出满足条件的实数t的值．

解答： 解：（I）∵

a

=(x-

3

，y)，

b

=(x+

3

，y)，且|

a

|+|

b

|=4，
∴动点Q（x，y）到两个定点F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)的距离的和为4，
∴轨迹C是以F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)为焦点的椭圆，方程为

x2

4

+y2=1
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=x-t，代入

x2

4

+y2=1，
消去y得 5x²-8tx+4t²-4=0，
由△＞0得 t²＜5，且x1+x2=

8t

5

，x1x2=

4t2-4

5

，
∴y₁y₂=（x₁-t）（x₂-t）=

t2-4

5

设点M（x，y），由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

可得 

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

∵点M（x，y）在C上，
∴4=x2+4y2=(x1cosθ+x2sinθ)2+4(y1cosθ+y2sinθ)2
=(x12+4y12)cos2θ+(x22+4y22)sin2θ+2sinθcosθ(x1x2+4y1y2)
=4（cos²θ+sin²θ）+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）=4+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）
∴2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）=0，
又因为θ∈[0，2π]的任意性，∴x₁x₂+4y₁y₂=0，
∴

4t2-4

5

+

4(t2-4)

5

=0，又t＞0，得t=

10

2

，
代入t=

10

2

检验，满足条件，故t的值是

10

2

．

点评：定义法是求圆锥曲线中轨迹方程的重要方法，直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理是我们常用的方法．